Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在上的最大值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明見解析

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)得，判斷在上的單調(diào)性即可求得在上的最大值；

（2）將在區(qū)間上有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)后構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍，再結(jié)合，確定的范圍；

（3）由（1）知，，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將化成，而，原不等式右側(cè)可利用放縮和裂項(xiàng)相消求得，又，原不等式左側(cè)也可得證，從而證明不等式成立.

（1），，

在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，

．

（2）函數(shù)在上有零點(diǎn)

有解在上有解且．

令，，

因?yàn)?/span>，

令，解得，

在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

又，，

即，故．

又，得，

綜上可得，.

（3）證明：由（1）知，，

所以時(shí)，．

設(shè)，

則，

，

所以

所以

又因?yàn)?/span>

所以

故結(jié)論成立.