Question

已知函數，當x=1時，y=f（x）取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若y=f（x）-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x．f′（x）=e^x[x²+（2-2a）x-2a]
由條件得：f′（1）=0，∴a=；
（2）x＞0時，f（x）=（x²-x）e^x，∴f′（x）=e^x（x-1）（2x+3）
則f（1）=-，
①若b＞0，當m=0或m=-時，y=f（x）-m有兩個零點；
②若b＜0，當m＞-時，y=f（x）-m有兩個零點．
分析：（1）先求函數定義域，然后對函數求導，由題意可得，f′（-1）=0，代入可求a，代入a的值，
（2）x＞0時，f（x）=（x²-x）e^x，求導數得到：f′（x）=e^x（x-1）（2x+3），則f（1）=-，從而得出：①若b＞0，當m=0或m=-時，或者②若b＜0，當m＞-時，y=f（x）-m有兩個零點．求解即可．
點評：本題考查利用導數研究函數的極值及單調性，解題時若含有參數，要對參數的取值進行討論，而分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運用．