Question

設是各項都為正數的等比數列, 是等差數列,且，
(1)求,的通項公式；
(2)記的前項和為，求證：；
(3)若均為正整數,且記所有可能乘積的和，求證：．

Answer 1

（1） （2）證法一：放縮法；
（2）證法二： 應用
（3）證法一：錯位相減法；證法二：用數學歸納法證明。

解析試題分析：（1）設的公比為的公差為，則     2分
解得所以        5分
（2）證法一：由題意得                 6分
                8分
所以         9分
（2）證法二：由題意得              6分
，當時
且也成立，               8分
所以              9分
（3）證法一：由題意
  11分
令
以上兩式相減得 13分
又，所以             14分
證法二：用數學歸納法證明。
（1）當時，所以結論成立。       10分
（2）假設當時結論成立，即。       11分
當時，
，所以當時也成立               13分
綜合（1）、（2）知對任意都成立           14分
考點：本題主要考查等比數列的通項公式，“錯位相減法”，數學歸納法。
點評：典型題，本題綜合性較強，處理的方法多樣。涉及數列不等式的證明問題，提供了“錯位相減求和、放縮、證明”和“數學歸納法”等證明方法，能拓寬學生的視野。