Question

【題目】已知是各項均為正數的無窮數列，且滿足，.

（1）若，，求a的值；

（2）設數列滿足，其前n項的和為.

①求證：是等差數列；

②若對于任意的，都存在，使得成立.求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）因為，所以此時單調遞增，，將，代入，解出，同理將，的值代入可得出答案.
（2）①由題意，，由，得,當成立，當時，可得和,兩式相減化簡可得，從而可證明.
②由①可得，又存在，使得成立，即，當成立，當時，.

當時，；當時，必為整數，即，要證，只需證即證，因為，只需證明即可.

（1）是各項均為正數的無窮數列，

解：因為，所以此時單調遞增，

又

所以令，得，即，

平方整理得.

因為，所以；

同理令，得，即，

平方整理得.因為，所以，因此.

（2）證明：①由題意，，由，得.

當時，，所以是公差為0的等差數列.

當時，因為

所以①，

從而有②.

①-②，得，

化簡得.

因為，且數列的各項均為正數，，

所以，從而，因此.

因為，所以.

綜上，是公差為d的等差數列.

②因為是公差為d的等差數列，所以.

因為對于任意的，都存在，使得，

所以有，

整理得.

ⅰ.若，則，結論成立.

ⅱ.若，.

當時，.

當時，必為整數，即.

因為，

所以，，所以，

從而.

下證，即證，

從而只要證，

因此要證.

記，則.

記，則，

所以，

從而，

所以.