Question

（本題滿分12分，每一問6分）

 如圖，弧是半徑為的半圓，為直徑，點為弧的中點，點和點為線段的三等分點，線段與弧交于點，且，平面外一點滿足平面,。

⑴證明：；

⑵ 將（及其內部）繞所在直線旋轉一周形成一幾何體，求該幾何體的體積。

 

Answer 1

【答案】

⑴ 證明： 見解析；⑵。

【解析】本試題主要是考查了圓內幾何性質，以及線面垂直的判定定理，以及關于圓錐的體積的運算的綜合運用。

（1）由于為直徑，點為弧的中點，，即又平面,平面，，進而得到線面垂直，利用性質定理得到線線垂直的證明。

（2）建立空間直角坐標系，則相關點的坐標為，，，，利用兩點的距離公式得到高的長度，然后求解椎體的體積公式即可。

⑴ 證明： 為直徑，點為弧的中點，

 ，即。………2分

 又平面,平面，

，

由平面，……4分

又平面，

。…………………………………………………………………………6分

⑵ 如圖所示，建立空間直角坐標系，則相關點的坐標為，，，，……………………………………7分

設 則由，得

，……………………………………………………………………9分

則，由題設知，所得幾何體為圓錐，其底面積為 ，高為。…………………………………………………11分

所以該圓錐的體積為。………………………………12分