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(2011•安徽模擬)設數列{an}是等差數列,{bn}是各項均為正數的等比數列,且a1=b1,a3+b5=21,a5+b3=13,
(1)求數列{an},{bn}的通項公式;
(2)若數列{
anbn
}的前n項和為Sn,試比較Sn與4的大小關系.
分析:(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,根據等比數列和等差數列的通項公式,聯立方程求得d和q,進而可得{an}、{bn}的通項公式.
(2)數列{
an
bn
}
的通項公式由等差和等比數列構成,進而可用錯位相減法求得前n項和Sn.利用作差法比較Sn與4的大小關系.
解答:解:(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,則依題意有q>0且
1+2d+q4=21
1+4d+q2=13

解得d=2,q=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1
(2)
an
bn
=
2n-1
2n-1

Sn=1+
3
21
+
5
22
++
2n-3
2n-2
+
2n-1
2n-1
,①
2Sn=2+3+
5
2
++
2n-3
2n-3
+
2n-1
2n-2
,②
②-①得Sn=2+2+
2
2
+
2
22
++
2
2n-2
-
2n-1
2n-1

=2+2×(1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-2
)-
2n-1
2n-1

=2+2×
1-
1
2n-1
1-
1
2
-
2n-1
2n-1

=6-
2n+3
2n-1

Sn-4=2-
2n+3
2n-1

由Sn-4<0得出2n<2n+3,解得n=1,2,3,
由Sn-4>0得出2n>2n+3,解得n=4,5,6,….
所以當n≤3時Sn<4,當n≥4時Sn>4.
點評:本題主要考查數列的通項公式、錯位相消法求和.不等關系的比較.考查計算能力.
練習冊系列答案
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[0,+∞)

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