Question

已知集合A＝{a₁，a₂，a₃，…，a_k}(k≥2)，其中a_i∈Z(i＝1，2，…，k)，由A中的元素構成兩個相應的集合S＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a＋b∈A}，T＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，其中(a，b)是有序實數對，集合S和T的元素個數分別為m，n．若對于任意的a∈A，總有－aA，則稱集合A具有性質P．

(Ⅰ)檢驗集合{0，1，2，3}與{－1，2，3}是否具有性質P，并對其中具有性質P的集合寫出相應的集合S和T；

(Ⅱ)對任何具有性質P的集合A，證明：；

(Ⅲ)判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：集合不具有性質，具有性質，其相應的集合是； 　　(Ⅱ)證明：首先由中的元素構成的有序實數對共有個，因為， 　　又因為當， 　　所以當，于是集合中的元素的個數最多為，即． 　　(Ⅲ)解：，證明如下： 　　①對于，根據定義 　　如果是中的不同元素，那么中至少有一個不成立，于是與中至少有一個不成立，故與也是中的不同元素．可見中的元素個數不多于中的元素個數，即； 　　②對于，根據定義 　　如果是中的不同元素，那么中至少有一個不成立，于是與中至少有一個不成立，故與也是中的不同元素．可見中的元素個數不多于中的元素個數，即． 　　由①②可知．