Question

方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是    ．

Answer 1

【答案】分析：首先分析充分性，根據二元二次方程表示圓的條件，可以求得若方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓，必有m＜或m＞1，再分析必要性，
化簡x²+y²+4mx-2y+5m=0可得（x+2m）²+（y-1）²=16m²+4-20m，若有m＜或m＞1，可得16m²+4-20m＞0，即方程表示圓，綜合可得答案．
解答：解：根據二元二次方程表示圓的條件，
若方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓，必有16m²+4-20m＞0，
解可得，m＜或m＞1，
即x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充分條件是m＜或m＞1，
反之，若有m＜或m＞1，
則x²+y²+4mx-2y+5m=0?（x+2m）²+（y-1）²=16m²+4-20m，
分析可得，16m²+4-20m＞0，
則x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓，
則x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的必要條件是m＜或m＞1，
綜合可得，方程x²+y²+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是m＜或m＞1．
點評：本題考查二元二次方程表示圓的條件，若方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓，則有D²+E²-4F＞0，注意本題涉及充要條件，必須從充分性與必要性兩方面考慮．