Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當時，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】分析：分析題意，該題可借助于利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值的方法進行解答，對于

（1），首先將式子進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，借助于導數(shù)來完成即可；對于（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最值，不難得到函數(shù)的最小值為，則，再利用導數(shù)求出其值域即可.

詳解：（1）因為對恒成立，

等價于對恒成立，

設(shè)

得，

故在上單調(diào)遞增，

當時，由上知，

所以，

即.

所以實數(shù)的取值范圍為；

（2）對求導得

記

由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又，

所以存在唯一正實數(shù)，

使得，

∴當時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；

時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增；

所以在內(nèi)有最小值，

有題設(shè)即，

又因為，

所以

根據(jù)（1）知，在內(nèi)單調(diào)遞增，，

所以，

令，

則，

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，

即函數(shù)的值域為.