Question

【題目】在直角坐標系中，已知一動圓經過點且在軸上截得的弦長為4，設動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；．

【解析】

試題分析：（1）設圓心坐標，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯立可得點坐標，同理可得的坐標，得直線的方程，得其過定點，且得出定點坐標．

試題解析：（1）設圓心，依題意有

，即得，

∴曲線的方程為．

（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，，，

則直線：，，

由得，

，

∴，，

∴．

同理得．

當或時，直線的方程為；

當且時，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點，其坐標為．