Question

橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓上，若P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  3

• C、

  1

  2

  或

  3

  3

• D、以上均不對(duì)

Answer 1

分析：橢圓

x2

4

+y2=1，可得a，b，c．設(shè)點(diǎn)M是橢圓的短軸的上頂點(diǎn)，則∠F₁MF₂是橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂張開的最大角，而tan∠F2OM=

3

，可得∠F2OM=60°，可得∠F1OF2=120°，得到點(diǎn)P不可能是直角頂點(diǎn)．
當(dāng)PF₂⊥x軸或PF₁⊥x軸時(shí)，把x=c=

3

代入橢圓的方程即可得出．

解答：解：如圖所示，
∵橢圓

x2

4

+y2=1，∴a²=4，b²=1，c=

a2-b2

=

3

．
設(shè)點(diǎn)M是橢圓的短軸的上頂點(diǎn)，則∠F₁MF₂是橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂張開的最大角，而tan∠F2OM=

3

，∴∠F2OM=60°，
∴∠F1OF2=120°，∴點(diǎn)P不可能是直角頂點(diǎn)．
當(dāng)PF₂⊥x軸或PF₁⊥x軸時(shí)，把x=c=

3

代入橢圓的方程可得：

( 3 )2

4

+y2=1，解得y=±

1

2

．
∴|PF1|=|PF2|=

1

2

．
∴點(diǎn)P到x軸的距離是

1

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題．