Question

如圖，已知橢圓

x2

4

+y2=1的焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足為N，線段QN的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：點(diǎn)F₂關(guān)于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對(duì)稱點(diǎn)Q′在直線F₁P的延長線上，故|F₁Q′|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=a，由此可以求點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：點(diǎn)F₂關(guān)于∠F₁PF₂的外角平分線PQ的對(duì)稱點(diǎn)Q′在直線F₁P的延長線上，故|F₁Q′|=|PF₁|+|PF₂|=2a（橢圓長軸長），
又OQ是△F2F1Q′的中位線，故|OQ|=2，
設(shè)M（x，y），則Q（2x，y），
所以有4x²+y²=4，
故答案為

y2

4

+x2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要應(yīng)用角分線的性質(zhì)解決問題，從而轉(zhuǎn)化為利用橢圓的定義，同時(shí)解題中利用了代入法求軌跡方程．