Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+S_n=2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求證數列{a_n}中不存在三項按原來順序成等差數列．

Answer 1

分析：（1）由條件，再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用反證法，假設存在三項按原來順序成等差數列，從而引出矛盾，即可得到結論．

解答：（1）解：當n=1時，a₁+S₁=2a₁=2，則a₁=1．
又a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2，兩式相減得a_n+1=

1

2

a_n，
所以{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，
所以a_n=

1

2n-1

．
（2）證明：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r，且p，q，r∈N^*），則2•

1

2q

=

1

2p

+

1

2r

，所以2•2^r-q=2^r-p+1．①
又因為p＜q＜r，所以r-q，r-p∈N^*．
所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．