Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=

3

2

，2S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n；
（3）求滿足不等式3T_n＞S_n（n∈N₊）的n的值．

Answer 1

分析：（1）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需證明數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)為常數(shù)即可，先根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，求出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，再求

an+1

an

，得到常數(shù)，即可證明．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用公式法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
（3）將原不等式進(jìn)行整理得到9[1-(

2

3

)n]＞2[(

3

2

)n-1]，令t=(

3

2

)n，整體代換，解出不等式即可．

解答：解：（1）由2S_n+1=3S_n+2得到，2S_n=3S_n-1+2（n≥2）
則2a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₂=

3

2

，2S₂=3S₁+2，∴a1=1，

a2

a1

=

3

2

則

an+1

an

=

3

2

(n∈N*)
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且an=(

3

2

)n-1
（2）由（1）知，an=(

3

2

)n-1，又由數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=

1

an

，則bn=(

2

3

)n-1
故Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3[1-(

2

3

)n]
（3）由（1）知，an=(

3

2

)n-1，則Sn=

1-( 3 2 )n

1- 3 2

=2[(

3

2

)n-1]
由（2）知，Tn=3[1-(

2

3

)n]
則3T_n＞S_n（n∈N₊）?9[1-(

2

3

)n]＞2[(

3

2

)n-1]，
令t=(

3

2

)n（t＞1），則9(1-

1

t

)＞2(t-1)，
解得 1＜t＜

9

2

，即1＜(

3

2

)n＜

9

2

又由f(x)=(

3

2

)x在R上為增函數(shù)，(

3

2

)3=

9

2

×

3

4

，(

3

2

)4=

9

2

×

9

8

，
故n=1，2，3

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n以及與此有關(guān)的解不等式問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，應(yīng)熟練掌握一些常用的數(shù)列的求和方法如公式法，錯(cuò)位相減法，疊加法等．