Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=an2+bn+c(a≠0)，求證數列{a_n}成等差數列的充要條件是c=0．

Answer 1

分析：由等差數列的求和公式和通項公式，分別證明必要性和充分性即可．

解答：證：必要性：當n=1時，a₁=a+b+c；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a；
由于a≠0，∴當n≥2時，{a_n}是公差為2a等差數列．
要使{a_n}是等差數列，則a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差數列的必要條件是：c=0．
充分性：當c=0時，Sn=an2+bn，a≠0．
當n=1時，a₁=a+b；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
顯然當n=1時也滿足上式，
∴an=2an+b-a(n∈N*)，進而可得an-an-1=2a(n∈N*)
∴{a_n}是等差數列．
綜上可知，數列{a_n}是等差數列的充要條件是：c=0．

點評：本題考查對稱關系的確定，涉及充要條件的證明，屬基礎題．