Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若a=2

3

，b=c=2，求角A的大小；
（2）若a=2，A=

π

3

，B=

5π

12

，求c邊的長；
（3）設

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

 ， 1)，且

m

•

n

取最小值時，求tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的三邊代入，求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）由A和B的度數，利用三角形的內角和定理求出C的度數，再由正弦定理得到

a

sinA

=

c

sinC

，將a，sinA及sinC的值代入，即可求出c的值；
（3）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

m

•

n

，利用二倍角的余弦函數公式化簡后，配方得到關于cosA的二次函數，根據二次函數的性質可得出

m

•

n

取得最小值時，cosA的值，由A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，進而確定出tanA的值，最后把所求的式子利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將tanA的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵a=2

3

，b=c=2，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4+4-12

8

=-

1

2

，
又A為三角形的內角，
則A=

2π

3

；…（4分）
（2）∵A=

π

3

，B=

5π

12

，則C=

π

4

，…（6分）
∴sinA=

3

2

，sinC=

2

2

，又a=2，
∴由正弦定理得：

2

3 2

=

c

2 2

，
∴c=

2 6

3

；…（8分）
（3）∵

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

， 1)，
∴

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A=-

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

，…（10分）
∴當cosA=

3

5

時，

m

•

n

取最小值，
又A為三角形的內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴tanA=

4

3

，…（13分）
則tan(A-

π

4

)=

tanA-1

1+tanA

=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

．…（15分）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正切函數公式，二倍角的余弦函數公式，特殊角的三角函數值，以及二次函數的性質，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．