Question

已知函數(shù)f（x）=﹣x³+bx²﹣3a²x（a≠0）在x=a處取得極值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=2x³﹣3af′（x）﹣6a³如果g（x）在區(qū)間（0，1）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

解：（1）由題得 f′（x）=﹣x²+2bx﹣3a²，
因?yàn)閒′（a）=0b=2af（x）=﹣x³+2ax²﹣3a²x
所以f（x）=﹣x³+2ax²﹣3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²﹣12a²x+3a³，
令g'（x）=0x=a或x=﹣2a
①若a＞0當(dāng)x＜a或x＞﹣2a時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)﹣2a＜x＜a時(shí)，g′（x）＜0
所以當(dāng)x=a∈（0，1）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值。
②同理當(dāng)a＜0時(shí)，x=﹣2a∈（0，1），即a∈（﹣，0）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值。
綜上所述：當(dāng)a∈（0，1）∪（﹣，0）時(shí)，g（x）在（0，1）有極小值。