Question

過直線x+y-2

2

=0上點P作圓x²+y²=1的兩條切線，切點為A，B若△PAB為等邊三角形，則點P的坐標是

（

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，設P的坐標為（a，b），由PA與PB為圓的兩條切線，根據切線的性質得到OA與AP垂直，OB與BP垂直，再由切線長定理得到PO為角平分線，根據兩切線的夾角為60°，求出∠APO和∠BPO都為30°，在直角三角形APO中，由半徑AO的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OP的長，由P和O的坐標，利用兩點間的距離公式列出關于a與b的方程，記作①，再由P在直線x+y-2

2

=0上，將P的坐標代入得到關于a與b的另一個方程，記作②，聯立①②即可求出a與b的值，進而確定出P的坐標．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：
直線PA和PB為過點P的兩條切線，且∠APB=60°，
設P的坐標為（a，b），連接OP，OA，OB，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，
又圓x²+y²=1，即圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
∴OA=OB=1，
∴OP=2AO=2BO=2，∴

a2+b2

=2，即a²+b²=4①，
又P在直線x+y-2

2

=0上，∴a+b-2

2

=0，即a+b=2

2

②，
聯立①②解得：a=b=

2

，
則P的坐標為（

2

，

2

）．
故答案為：（

2

，

2

）

點評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：切線的性質，切線長定理，含30°直角三角形的性質，以及兩點間的距離公式，利用了數形結合的思想，根據題意畫出相應的圖形是解本題的關鍵．