Question

（2012•江西）過(guò)直線(xiàn)x+y-2

2

=0上點(diǎn)P作圓x²+y²=1的兩條切線(xiàn)，若兩條切線(xiàn)的夾角是60°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（

2

，

2

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），由PA與PB為圓的兩條切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與BP垂直，再由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到PO為角平分線(xiàn)，根據(jù)兩切線(xiàn)的夾角為60°，求出∠APO和∠BPO都為30°，在直角三角形APO中，由半徑AO的長(zhǎng)，利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OP的長(zhǎng)，由P和O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于a與b的方程，記作①，再由P在直線(xiàn)x+y-2

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=0上，將P的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a與b的另一個(gè)方程，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值，進(jìn)而確定出P的坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：
直線(xiàn)PA和PB為過(guò)點(diǎn)P的兩條切線(xiàn)，且∠APB=60°，
設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），連接OP，OA，OB，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，
又圓x²+y²=1，即圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
∴OA=OB=1，
∴OP=2AO=2BO=2，∴

a2+b2

=2，即a²+b²=4①，
又P在直線(xiàn)x+y-2

2

=0上，∴a+b-2

2

=0，即a+b=2

2

②，
聯(lián)立①②解得：a=b=

2

，
則P的坐標(biāo)為（

2

，

2

）．
故答案為：（

2

，

2

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線(xiàn)方程，涉及的知識(shí)有：切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．