Question

已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓過點且與拋物線有一個公共的焦點．

（1）求橢圓方程；

（2）斜率為的直線過右焦點，且與橢圓交于兩點，求弦的長；

（3）為直線上的一點，在第（2）題的條件下，若△為等邊三角形，求直

線的方程．

Answer 1

（1）；（2）；（3），

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，若焦點明確，設橢圓的標準方程，結合條件用待定系數法求出的值，若不明確，需分焦點在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論；（3）涉及弦長的問題時，應熟練地利用根與系數的關系，設而不求計算弦長；直線與圓錐曲線相交所得中的弦問題，就解析幾何的內容之一，一般有以下三種類型：①求中點弦所在的直線方程；②求弦中點的軌跡方程問題；③弦長為定值時，弦中點的坐標問題，其解法有代點相減法、設而不求法、參數法、待定系數法及中心對稱變換法.

試題解析：（1）由題意得 2分

又，

得，解得或（舍去）， 2分

則， 1分

故橢圓方程為． 1分

（2）直線的方程為． 1分

聯立方程組

消去并整理得． 3分

設，．

故，． 1分

則． 2分

（3）設的中點為．

可得， 1分

． 1分

直線的斜率為，又 ，

所以． 2分

當△為正三角形時，，

可得， 1分

解得． 1分

即直線的方程為，或． 1分

考點：1、求橢圓的標準方程；2、直線與圓相交求弦長；3、直線與橢圓的綜合問題.