Question

已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m²），其中有部分舊住房需要拆除．當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b（單位：m²）的舊住房．
（1）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少？（計算時取1.1⁵=1.6）
（2）按照（1）的拆除速度，至少需多少年才能使該地的住房面積比今年年初的住房面積翻一番．（取lg 3=0.477，lg 1.1=0.041）

Answer 1

分析：（1）根據每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b（單位：m²）的舊住房，可得第五年末的住房面積，利用第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，建立方程，即可求得每年拆除的舊住房面積；
（2）確定第n年末的住房面積，根據住房面積比今年年初的住房面積翻一番，建立不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）第一年末的住房面積為1.1a-b（m²）；第二年末的住房面積為（1.1a-b）×1.1-b=1.21a-2.1b（m²）
第五年末的住房面積為a•(

11

10

)5-b•[1+

11

10

+(

11

10

)2+(

11

10

)3+(

11

10

)4]=1.6a-6ba------（4分）
依題意可知1.6a-6b=1.3a，解得b=

a

20

，
所以每年拆除的舊住房面積為

a

20

(m2)-------------------------------------（6分）
（2）由（1）知第n年末的住房面積為1．1na-

1-1.1n

1-1.1

b=1．1na-

1.1n-1

0.1

×

a

20

所以1．1na-

1.1n-1

0.1

×

a

20

≥2a-------------------------------------（8分）
即1.1ⁿ≥3所以n≥log_1.13≈11.5-------------------------------------（10分）
所以至少需12年才能使該地的住房面積比今年年初的住房面積翻一番．------------（12分）

點評：本題考查數列模型的構建，考查解不等式，解題的關鍵是正確建立數列模型，屬于中檔題．