Question

函數y=cos2x-4cosx，x∈[-

π

3

，

π

2

]的值域是

 

．

Answer 1

分析：根據二倍角的余弦函數公式化簡函數解析式，得到關于cosx的二次函數，根據二次函數開口向上且在對稱軸的左邊函數為減函數，利用cosx在x∈[-

π

3

，

π

2

]的值域即可求出y的最大值和最小值得到函數的值域．

解答：解：y=cos2x-4cosx=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3，由于，x∈[-

π

3

，

π

2

]，故cosx∈[0，1]，
而當cosx＜1時，y為減函數，所以當cosx=1時，y的最小值為2×（1-1）²-3=-3；
當cosx=0時，y的最大值為2×（0-1）²-3=-1．
所以函數y的值域是[-3，-1]．
故答案為：[-3，-1]．

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數公式化簡求值，會利用二次函數的圖象及增減性求出函數的值域．做題時注意余弦函數的值域．