Question

11．已知數列{a_n}的前n項和S_n和通項a_n滿足2S_n+a_n=1，等差數列$\{\frac{1}{b_n}\}$中，${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}滿足${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求證：${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用2S_n+a_n=1，以及2S_n-1+a_n-1=1，提出${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$，判斷數列{a_n}為等比數列，$\{\frac{1}{b_n}\}$為等差數列，求出公差為d，即可求出通項公式．
（2）記{C_n}前n項和為T_n，利用錯位相減法求出和，然后證明即可．

解答 解：（1）∵2S_n+a_n=1，①，∴n≥2，2S_n-1+a_n-1=1，②
∴①-②得：2a_n+a_n-a_n-1=0，∴${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$，n=1時，2a₁+a₁=1，∴${a_1}=\frac{1}{3}$，
∴數列{a_n}為以$\frac{1}{3}$為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴${a_n}={（\frac{1}{3}）^n}$．（3分）
又$\{\frac{1}{b_n}\}$為等差數列，設其公差為d，則$d=\frac{1}{b_2}-\frac{1}{b_1}=1$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_1}+（n-1）d=n$，∴${b_n}=\frac{1}{n}$．（6分）
（2）${C_n}=\frac{n}{3^n}$，記{C_n}前n項和為T_n，
則${T_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$，①
$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$（9分）
=$\frac{{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3^n}）}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2×{3^n}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2×{3^{n+1}}}}$
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4×{3^n}}}$，（11分）
∵n∈N₊，∴$\frac{2n+3}{{4×{3^n}}}＞0$，∴${T_n}＜\frac{3}{4}$．（12分）

點評 本題考查數列遞推關系式的應用，通項公式的求法，錯位相減法求和的應用，考查分析問題解決問題的能力．