Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+2n=2a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

a_n=2ⁿ⁺¹-2

．

Answer 1

分析：由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．當(dāng)n=1 時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答：解：∵S_n+2n=2a_n，∴S_n=2a_n-2n，
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：a_n=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．