Question

已知雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點，且與橢圓相交，其四個交點恰好是一個正方形的四個頂點，求此雙曲線的方程.

Answer 1

【解析】橢圓的焦點為(，0)和(－，0)

由橢圓及雙曲線的對稱性可知，四個交點分別關于x軸和y軸對稱，又是正方形的四個頂點，故可設第一象限中的交點為(m，m)，

代入橢圓方程，可得m＝(m＝－舍去)，于是第一象限中的交點為(，)，

設雙曲線方程為－＝1，有，解得a²＝1，b²＝2，

可求得雙曲線方程為x²－＝1.