Question

（2011•萬州區一模）若圓x²+y²-4x-4y-10=0上有且僅有三個不同點到直線l：y=kx的距離為2

2

，則直線l的傾斜角是（　　）

• A．

  π

  12

  或

  5π

  12

• B．

  π

  12

  或

  π

  4

• C．

  π

  6

  或

  π

  3

• D．0或

  π

  2

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程，找出圓心A的坐標和半徑r的值，由圓A上有且僅有三個不同點到直線l：y=kx的距離為2

2

，則圓心A到直線l的距離等于r-2

2

，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，然后根據直線斜率與傾斜角的關系，利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值即可求出直線l的傾斜角．

解答：解：把圓x²+y²-4x-4y-10=0化為標準方程得：（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圓心A的坐標為（2，2），半徑r=3

2

，又直線l的方程為y=kx，
根據題意畫出圖形得：

根據圓上有三不同點到直線l：y=kx的距離為2

2

，
得到圓心A到直線l的距離d=

|2k-2|

k2+1

=3

2

-2

2

=

2

，
解得：k=2+

3

或k=2-

3

，
又tan

π

12

=tan（

π

4

-

π

6

）=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

，tan

5π

12

=tan（

π

4

+

π

6

）=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

，
則直線l的傾斜角是

π

12

或

5π

12

．
故選A

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩角和與差的正切函數公式，直線斜率與傾斜角的關系，以及特殊角的三角函數值，利用了轉化及數形結合的思想，其中根據題意得出圓心到直線l的距離為

2

解本題的關鍵．