Question

如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

BD

的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．

Answer 1

分析：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，可得圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為V₁=

1

3

π．圖II旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是半球與圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐的差，因此它的體積V₂=V_半球-V₁=

1

3

π．圖III旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓柱與半球的差，因此它的體積V₃=V_圓柱-V_半球=

1

3

π，由此即可得到三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比．

解答：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，可得
圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為以AB為軸的圓錐體，高AB=1且底面半徑r=1
∴該圓錐的體積為V₁=

1

3

π×AD²×AB=

1

3

π；
圖II旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AB為半徑的一個(gè)半球，減去圖Ⅰ旋轉(zhuǎn)所得圓錐體而形成，
∴該圓錐的體積為V₂=

1

2

×

4

3

π×AB²-V₁=

2

3

π-

1

3

π=

1

3

π；
圖III旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體，是以AB為軸的圓柱體，減去圖II旋轉(zhuǎn)所得半球而形成，
∴該圓錐的體積為V₃=π×AD²×AB-V_半球=π-

2

3

π=

1

3

π
綜上所述V₁=V₂=V₃=

1

3

π，
由此可得圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比為1：1：1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形ABCD被圓弧分成的三部分，求它們旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積之比，著重考查了圓柱、圓錐和球的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．