Question

如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．PO=

2

，AB=2
求證：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC⊥平面BDE
（3）求二面角E-BD-A的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用中位線的方法在平面內找到與已知直線平行的直線，結合平面平行的判定定理即可得到答案．
（2）要證明面面垂直一般先在其中一個平面內找到另一個平面的垂線，在利用線線垂直證明線面垂直即可．
（3）結合題中的條件找到二面角或者與二面角互補的角，再利用解三角形的有關知識求解答案．

解答：解：證明（1）∵O是AC的中點，E是PC的中點，∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，
而BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥OC，
∠EOC是二面角E-BD-C的平面角
（∠EOA是二面角E-BD-A的平面角）
在RT△POC中，可求得OC=

2

，PC=2
在△EOC中，OC=

2

，CE=1，OE=

1

2

PA=1
∴∠EOC=45°∴∠EOA=135°，即二面角E-BD-A大小為135°．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，利用題中的條件證明線面平行與面面垂直問題，也有利于找到二面角的平面角進而得到答案．