Question

如圖，BD是正方形ABCD的對角線，的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉一周，求圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉所得旋轉體的體積之比．

Answer 1

解：設正方形ABCD的邊長為1，可得
圖Ⅰ旋轉所得旋轉體為以AB為軸的圓錐體，高AB=1且底面半徑r=1
∴該圓錐的體積為V₁=π×AD²×AB=π；
圖II旋轉所得旋轉體，是以AB為半徑的一個半球，減去圖Ⅰ旋轉所得圓錐體而形成，
∴該圓錐的體積為V₂=×π×AB²-V₁=π-π=π；
圖III旋轉所得旋轉體，是以AB為軸的圓柱體，減去圖II旋轉所得半球而形成，
∴該圓錐的體積為V₃=π×AD²×AB-V_半球=π-π=π
綜上所述V₁=V₂=V₃=π，
由此可得圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋轉所得旋轉體的體積之比為1：1：1．
分析：設正方形ABCD的邊長為1，可得圖Ⅰ旋轉所得圓錐的體積為V₁=π．圖II旋轉所得旋轉體是半球與圖Ⅰ旋轉所得圓錐的差，因此它的體積V₂=V_半球-V₁=π．圖III旋轉所得旋轉體是圓柱與半球的差，因此它的體積V₃=V_圓柱-V_半球=π，由此即可得到三部分旋轉所得旋轉體的體積之比．
點評：本題給出正方形ABCD被圓弧分成的三部分，求它們旋轉而成的幾何體的體積之比，著重考查了圓柱、圓錐和球的體積公式等知識，屬于基礎題．