Question

已知正實數a、b滿足a+b=1，且

1

a

+

2

b

≥m恒成立，則實數m的最大值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：欲求實數m的最大值，根據題意知只須求出且

1

a

+

2

b

的最小值即可．由已知中正實數a，b滿足a+b=1，根據基本不等式“1的活用”，我們將分子式中的“1”全部變形成a+b，然后利用分式的性質，化簡得到兩數為定值的情況，利用基本不等式即可得到答案．

解答：解：∵正實數a，b滿足a+b=1，
∴且

1

a

+

2

b

=

a+b

a

+

2(a+b)

b

=3+（

b

a

+

2a

b

）≥3+2

2

故

1

a

+

2

b

的最小值是3+2

2

，

1

a

+

2

b

≥m恒成立，則實數m≤3+2

2

，
m的最大值是3+2

2

故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查的知識點是基本不等式在最值問題中的應用，其中對于已知兩數之和為定值，求兩分式之和的最值時，“1的活用”是最常用的辦法．