Question

已知函數．

（1）若對于都有成立，試求a的取值范圍；

（2）記，當時，函數在區間上有兩個零點，求實數b的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）含參數的一元二次不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單；（2）解決類似的問題時，注意區分函數的最值和極值．求函數的最值時，要先求函數在區間內使的點，再計算函數在區間內所有使的點和區間端點處的函數值，最后比較即得；（3）函數在某個區間內可導，則若，則在這個區間內單調遞增，若，則在這個區間內單調遞減．

試題解析：解:（1）．

由，解得；由，解得

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

所以當時，函數取得最小值，

因為對于都有成立

所以只需滿足即可

則，即，解得

所以的取值范圍是

依題意得，其定義域為

則，由，解得

由解得

所以函數在區間上為減函數，在區間上為減函數，又因為

函數在區間上有兩個零點，

所以，解得．

考點：1、恒成立的問題；2、函數的導數與單調性關系；3、函數零點的個數．