Question

若一直線被兩條已知直線4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的線段的中點恰好在坐標原點，求這條直線的方程.

Answer 1

解析：根據題意：4x+y+6=0,3x-5y-6=0兩條直線在y軸上的截距互為相反數,∴斜率存在.

解法一:設所求方程為y=kx,代入兩直線

4x+y+6=0,3x-5y-6=0,∴4x+kx+6=0,x₁=－；3x-5kx-6=0,x₂=

∴x₁+x₂=0k=-∴l:x+6y=0.

解法二:設M、N兩點在所求直線上，且M、N關于原點對稱，

M點坐標為（x₀,y₀）,∴N(-x₀,-y₀),?

M在4x+y+6=0上,N在3x-5y-6=0上.?

∴4x₀+y₀+6=0①,-3x₀+5y₀-6=0②.?

∵M、N關于原點對稱，∴所求直線過原點.?

①+②得x₀+6y₀=0,∴所求直線為x+6y=0.

解法三:設y=kx,

由(4x+y+6)(3x-5y-6)=0,?

∴(4x+kx+6)(3x-5kx-6)=0,(5k²+17k-12)x²-6(6k+1)x+6=0,?

Δ=36(36k²+12k+1)-24(5k²+17k-12)≥0,?

98k²+2k+27≥0,恒大于0.?

∴l:x+6y=0.

解法四:設直線的參數式為

∴4tcosα+tsinα+6=0,

3tcosα-5tsinα-6=0,

∵兩點關于原點對稱,∴t₁+t₂=0.?

∴5sinα-3cosα+4cosα+sinα=0?tanα=-.?

∴l:x+6y=0.