Question

下面有四個命題：
①若，為一平面內兩非零向量，則⊥是|+|=|-|的充要條件；
②一平面內兩條曲線的方程分別是f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0，它們的交點是P（x，y），則方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經過點P；
③經過一定點且和一條已知直線垂直的所有直線都在同一平面內；
④=2，則b=-1．
其中真命題的序號是     （把符合要求的命題序號都填上）

Answer 1

【答案】分析：①由|+|=|-|平方，化簡可得⊥；②把點P（x，y）的坐標代入方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0可得證；③用反證法可證；④把b=-1代入驗證，可證．
解答：解：①充分性：|+|=，|-|=
∵|+|=|-|∴
即
∴⊥；必要性：∵⊥；∴
∴
∴|+|=|-|
②∵點P（x，y）是曲線f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0的交點
∴f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0
∴f₁（x，y）+f₂（x，y）=0
即方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經過點P；
③假設點P，直線l，過P點有PA，PB，…，PN都垂直直線l．
求證：PA，PB，…，PN都在同一平面內．
證明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l⊥面PAB．
設過點P的直線PN⊥l
且PN不在面PAB內
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l⊥面PAN．
則過點P有兩個平面和l垂直
這與過一點只能有一個平面和一條直線垂直矛盾
∴假設PN不在面PAB內錯誤，原命題成立．
④若b=-1則
∵=2，∴b=-1
點評：解決有關向量模有關命題，平方是有效的解決策略和方法，證明兩個向量垂直等價于它們的數量積為0；點的坐標是曲線方程的解，則點就在該曲線上；反證法證明問題的步驟和方法．屬基礎題．