Question

（2012•天津）已知拋物線的參數方程為

x=2pt2 y=2pt

（t為參數），其中p＞0，焦點為F，準線為l．過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E．若|EF|=|MF|，點M的橫坐標是3，則p=

2

．

Answer 1

分析：把拋物線的參數方程化為普通方程為y²=2px，則由拋物線的定義可得及|EF|=|MF|，可得△MEF為等邊三角形，設點M的坐標為（3，m ），則點E（-

p

2

，m），把點M的坐標代入拋物線的方程可得 p=

m2

6

．再由|EF|=|ME|，解方程可得p的值．

解答：解：拋物線的參數方程為

x=2pt2 y=2pt

（t為參數），其中p＞0，焦點為F，準線為l，消去參數可得x=2p(

y

2p

)2，
化簡可得y²=2px，表示頂點在原點、開口向右、對稱軸是x軸的拋物線，
故焦點F（

p

2

，0），準線l的方程為x=-

p

2

．
則由拋物線的定義可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF為等邊三角形．
設點M的坐標為（3，m ），則點E（-

p

2

，m）．
把點M的坐標代入拋物線的方程可得m²=2×p×3，即 p=

m2

6

．
再由|EF|=|ME|，可得 p²+m²=(3+

p

2

)2，即 p²+6p=9+

p2

4

+3p，解得p=2，或p=-6 （舍去），
故答案為 2．

點評：本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，把參數方程化為普通方程的方法，屬于中檔題．