Question

已知經(jīng)過點(diǎn)Q（6，0）的直線l與拋物線y²=6x交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)系原點(diǎn)，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，寫出直線l的方程，求出A，B的坐標(biāo)，直接代入數(shù)量積公式求值，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求出兩個(gè)交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步求出縱坐標(biāo)的積，直接代入數(shù)量積公式求值．

解答：解：若直線l的斜率不存在，則其方程為x=6，代入y²=6x得，A（6，6），B（6，-6），
所以

OA

=(6，6)，

OB

=(6，-6)，則

OA

•

OB

=6×6+6×(-6)=0；
若直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為k（k≠0），則l的方程為y=kx-6k，
聯(lián)立

y=kx-6k y2=6x

，得k²x²-（12k²+6）x+36k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x1+x2=

12k2+6

k2

，x1x2=36
y₁y₂=（kx₁-6k）（kx₂-6k）=k2x1x2-6k2(x1+x2)+36k2
=36k2-6k2•

12k2+6

k2

+36k2=-36．
所以

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=36-36=0．
綜上，

OA

•

OB

的值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，此題是中檔題．