Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為坐標原點，為直線上一點，過作的垂線交橢圓于、．當四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由焦點坐標和離心率及、、之間的關系求出、的值，進而可得橢圓的標準方程；

（2）由題意設的坐標為，由（1）得左焦點的坐標，可得直線的斜率，由題意可得的方程，將直線與橢圓的方程聯立求出兩根之和，運用韋達定理求得，再由四邊形是平行四邊形，可得，由此求出的值，從而可得的長，進而求出四邊形的面積．

（1）由已知得：，，所以，又，解得，

所以橢圓的標準方程為：；

（2）設點的坐標為，則直線的斜率，

當時，直線的斜率，直線的方程是；

當時，直線的方程也符合的形式．

由，得（*），其判別式，

設、，則，，

因為四邊形是平行四邊形，所以，即，

所以，解得，

此時，方程（*）為，得，則.

此時的面積．