Question

【題目】在棱長為2的正方體中，點M是對角線上的點（點M與A、不重合），則下列結論正確的個數為（ ）

①存在點M，使得平面平面；

②存在點M，使得平面；

③若的面積為S，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點M，使得.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

平面與平面為同一平面,證明平面即可判斷①；由證明平面平面判斷②；連接交于點O,當時可得,利用相似可得,進而求得的最小面積,即可判斷③；分別判斷點從的中點向著點A運動的過程中,、的范圍,進而判斷④.

連接,,

設平面與對角線交于M,由,可得平面,即平面,所以存在點M,使得平面平面,所以①正確；

連接,,

由,,利用平面與平面平行的判定,可證得平面平面,設平面與交于M,可得平面,所以②正確；

連接交于點O,過O點作,

在正方體中,平面,所以,所以OM為異面直線與的公垂線,根據,所以,即,

所以的最小面積為,

所以若的面積為S,則,所以③不正確；

在點從的中點向著點A運動的過程中,從1減少趨向于0,即,從0增大到趨向于2,即,在此過程中,必存在某個點使得,所以④是正確的,

綜上可得①②④是正確的,

故選:C