Question

14．已知極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，圓C的直角坐標系方程為x²+y²+2x-2y=0，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數），射線OM的極坐標方程為θ=$\frac{3π}{4}$
（Ⅰ）求圓C和直線l的極坐標方程
（Ⅱ）已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）根據已知中圓C的直角坐標系方程，可得圓C的極坐標方程；
先由直線l的參數方程消參得到直線l的普通方程，進而可得直線l的極坐標方程
（Ⅱ）已知射線OM與圓C的交點為O，P，將θ=$\frac{3π}{4}$代和，可得P，Q點的極坐標，進而得到線段PQ的長．

解答 解：（I）∵圓C的直角坐標系方程為x²+y²+2x-2y=0，
∴圓C的極坐標方程為：ρ²+2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即ρ+2cosθ-2sinθ=0，
即${ρ}^{\;}=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，
∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數），
消參得：x-y+1=0，
∴直線l的極坐標方程為：ρcosθ-ρsinθ+1=0，
即sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$；
（Ⅱ）當θ=$\frac{3π}{4}$時，|OP|=$2\sqrt{2}sin（\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$，
故點P的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
|OQ|=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故點Q的極坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
故線段PQ的長為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是參數方程和極坐標，熟練掌握參數方程與普通方程及極坐標方程之間的轉化方式，是解答的關鍵．