【題目】已知函數
，求證：
（1）
在區間
存在唯一極大值點；
（2）在
上有且僅有2個零點.
【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）首先求出函數的導數
，設
，對
求導，說明其單調性，再根據零點存在性定理可得在
有唯一零點，從而得證；
（2）結合（1）的單調性利用零點存在性定理證明
上有兩個零點，當
時無零點.
解：（1）因為
，所以
，
設，則
，則當
時，
，
所以即在單調遞減，
又
，
，且圖像是不間斷的，
由零點存在性定理可得在有唯一零點，設為
.
則當
時，
；當
時，
.
所以
在
單調遞增，在
單調遞減，
故在存在唯一極大值點.
（2）因為，所以，
設，則，則當
時，，
所以即在單調遞減，
由（1）知，在單調遞增，在單調遞減.
又
，
，所以
，
又的圖像是不間斷的，所以存在
，使得
；
又當
時，
，所以在
遞減，
因
，又
，又的圖像是不間斷的，
所以存在
，使得
；
當時，
，
，所以
，從而在
沒有零點.
綜上，有且僅有2個零點.
狀元坊全程突破導練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“既要金山銀山，又要綠水青山”。某風景區在一個直徑
為
米的半圓形花圓中設計一條觀光線路。打算在半圓弧上任選一點
（與
不重合），沿
修一條直線段小路，在路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再沿弧
修一條弧形小路，在小路的一側（注意是一側）種植綠化帶，小路與綠化帶的寬度忽略不計。
（1）設
（弧度），將綠化帶的總長度表示為
的函數
；
（2）求綠化帶的總長度的最大值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為G函數．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數g（x）=x2與h（x）=2x﹣b是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數b組成的集合．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），若以直角坐標系中的原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
（
為實數.）
（1）求曲線
的普通方程和曲線
的直角坐標方程；
（2）若曲線
與曲線
有公共點，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四種說法中，
①命題“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“對于任意x∈R，x2﹣x＜0”；
②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；
③已知冪函數f（x）＝xα的圖象經過點（2，
），則f（4）的值等于
；
④已知向量a＝（3,4），b＝（2,1），b =（2,1），則向量a在向量b方向上的投影是
，
其中說法正確的個數是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數方程為
為參數），以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）設點
，直線與曲線交于
兩點，求
的值.
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