Question

【題目】已知函數．

（1）設時，求的導函數的遞增區間；

（2）設 ，求的單調區間；

（3）若 對 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間，

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（3）

【解析】

（1）將代入函數，求出，即，再求出，進而求出的單調遞增區間；

（2）對求導，討論的取值范圍，求出的單調區間；

（3）分離參數，不等式 對 恒成立轉化為恒成立，構造新的函數，求出的最大值，從而求得的取值范圍.

解：（1）

時，，

，

令，

則，

令，得，

的單調遞增區間為；

（2）

，

若，則恒成立，在單調遞減；

若，令，得，單調遞增，

令，得，單調遞減.

綜上所述，

當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

（3）對恒成立可轉化為恒成立，

設，，

則當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

，

，即的取值范圍為.