Question

已知△ABC的面積為

3

，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
（1）求角C；（2）若△ABC的外接圓半徑是2時，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根據正弦定理化簡已知的等式得到一個關系式，記作（*），然后利用余弦定理表示出cosC，把（*）代入即可求出cosC的值，然后由C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由（1）求出的C的度數求出sinC的值，然后由sinC的值，利用△ABC的面積公式求出ab的值，又△ABC的外接圓半徑是2，根據正弦定理求出c的值，代入（*）化簡，配方后把ab的值代入即可求出a+b的值．

解答：解：（1）由sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
利用正弦定理化簡得：c²=a²+b²+ab（*），
則根據余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，由C∈（0，180°），
得到：C=120°；
（2）∵c=2RsinC=2

3

，又

1

2

absinC=

3

，∴ab=4，
把c的值代入（*）得：12=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∴（a+b）²=16，
則a+b=4．

點評：解本題的關鍵是利用正弦定理化簡已知的等式．綜合考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式解決數學問題．本題的綜合性比較強，要求學生掌握知識全面．