Question

不等式

x2-8x+20

ax2-ax-1

＜0對任意實數x恒成立，則a的范圍為

（-4，0]

．

Answer 1

分析：由題意可得

(x-4)2+4

ax2-ax-1

＜0 對任意實數x恒成立，即 ax²-ax-1＜0對任意實數x恒成立，當a=0時，滿足條件，當a≠0時，由

a＜0 △ =a 2+4a＜0

求得a的范圍，
綜合可得a的范圍．

解答：解：由題意可得

(x-4)2+4

ax2-ax-1

＜0 對任意實數x恒成立，
∵（x-4）²+4＞0，∴ax²-ax-1＜0對任意實數x恒成立．
當a=0時，ax²-ax-1=-1，顯然滿足條件．
當a≠0時，應有

a＜0 △ =a 2+4a＜0

，解得-4＜a＜0．
綜上可得，-4＜a≤0，故a的范圍為（-4，0]．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．