Question

（本小題滿分16分）設直線與橢圓相交于兩點.

（1）若，求的范圍；

（2）若，且橢圓上存在一點其橫坐標為，求點的縱坐標；

（3）若，且，求橢圓方程.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）聯立直線與橢圓方程，整理成關于的方程，利用進行求解；（2）聯立直線與橢圓方程，整理成關于的方程，利用平面向量的數量積為0與其橫坐標為求解；（3）構造三角形，利用平面向量的數量積為0與三角形的面積進行求解.

解題思路:1.直線與橢圓的位置關系的判定方法：聯立直線與橢圓的方程，整理成關于的方程，利用判別式的符號進行判定（相交于兩個交點；，相切于一個交點；，兩者相離，無交點）

2. .

試題解析：（1）將直線代入橢圓方程，因為直線與橢圓交于兩點，故

解得，所以的范圍為.

（2）將直線代入橢圓方程，可得：

由可得，解得

即，代到橢圓方程得

即，

所以點的縱坐標為 .

（3）設直線與坐標軸交于，則

又兩個三角形等高，故

所以，求得

所以，

所以橢圓方程為.

考點：1.直線與橢圓的位置關系；2.橢圓的標準方程；3.平面向量垂直的判定.