Question

已知函數，（x∈R，p₁，p₂為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，
（1）求f（x）=f₁（x）對所有實數x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
（2）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，先證充分性：由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）對所有實數成立，等價于f₁（x）≤f₂（x）對所有實數x成立等價于，即對所有實數x均成立，分析容易得證；再證必要性：對所有實數x均成立等價于，即|p₁-p₂|≤log₃2，
（2）分兩種情形討論：①當|p₁-p₂|≤log₃2時，由中值定理及函數的單調性得到函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度；②當|p₁-p₂|＞log₃2時，a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），根據圖象和函數的單調性得到函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度．
解答：解：（1）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對所有實數x）等價于f₁（x）≤f₂（x）（對所有實數x）這又等價于，即對所有實數x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價于，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件
（2）分兩種情形討論
（i）當|p₁-p₂|≤log₃2時，由（1）知f（x）=f₁（x）（對所有實數x∈[a，b]）
則由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知，
再由的單調性可知，
函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度
為（參見示意圖）

（ii）|p₁-p₂|＞log₃2時，不妨設p₁＜p₂，，則p₂-p₁＞log₃2，于是
當x≤p₁時，有，從而f（x）=f₁（x）；
當x≥p₂時，有
從而f（x）=f₂（x）；當p₁＜x＜p₂時，，及，由方程
解得f₁（x）與f₂（x）圖象交點的橫坐標為（1）
顯然，
這表明x在p₁與p₂之間．由（1）易知
綜上可知，在區間[a，b]上，（參見示意圖）

故由函數f₁（x）及f₂（x）的單調性可知，f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為（x-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），即，得p₁+p₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得
綜合（i）（ii）可知，f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度和為．
點評：考查學生理解充分必要條件的證明方法，用數形結合的數學思想解決問題的能力，以及充分必要條件的證明方法．