Question

設a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)滿足f(-

π

3

)=f(0)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）若x∈[

π

4

，

17π

24

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）通過二倍角的余弦函數以及誘導公式化簡函數的表達式，通過f(-

π

3

)=f(0)求出a，然后利用兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可求解函數f（x）的最小正周期，通過正弦函數的單調減區間求解函數的單調遞減區間；
（2）利用x∈[

π

4

，

17π

24

]，求出函數的相位的范圍，利用正弦函數的最值，直接求f（x）的最大值和最小值．

解答：（本小題13分）
解：（1）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)
=

a

2

sin2x-cos2x+sin2x
=

a

2

sin2x-cos2x
由f(-

π

3

)=f(0)
可得

a

2

sin(-

2π

3

)-cos(-

2π

3

)=

a

2

sin0-cos0
⇒-

3 a

4

-(-

1

2

)=-1
⇒a=2

3

，
f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．
∴T=π，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

⇒kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函數f（x）的最小正周期為π，
∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）由于x∈[

π

4

，

17π

24

]，所以

π

2

-

π

6

≤2x-

π

6

≤

17π

12

-

π

6

即

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

4

，
∴-

2

≤2sin(2x-

π

6

)≤2，
∴f（x）的最大值為2，最小值為-

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角的余弦函數以及兩角和與差的三角函數的應用，考查三角函數的最值的求法單調區間的求法，考查計算能力．