Question

設a∈R，f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函數；
（1）求常數a的值
（2）實數k＞0，解關于x的不等式：f-1(x)＞log2

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函數，利用f（0）=0能求出a．
（2）由f（x）=

2x-1

2x+1

，設y=

2x-1

2x+1

，求出f-1(x)=log2

1+x

1-x

，-1＜x＜1．由f-1(x)＞log2

1+x

k

，知log2

1+x

1-x

＞log2

1+x

k

，然后利用穿根法求不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

的解集．

解答：解：（1）∵a∈R，f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

(x∈R)是奇函數，
∴f（0）=

20•a+a-2

20+1

=

2a-2

2

=0，
∴a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

2x-1

2x+1

，
設y=

2x-1

2x+1

，則y•2^x+y=2^x-1，
∴（1-y）•2^x=1+y，
2x=

1+y

1-y

，
∴x=log2

1+y

1-y

，
x，y互換，得f-1(x)=log2

1+x

1-x

，-1＜x＜1．
由f-1(x)＞log2

1+x

k

，得log2

1+x

1-x

＞log2

1+x

k

，
∴

1+x

1-x

＞

1+x

k

，
整理，得

x(x+1)

k(x-1)

＜0，
∵k＞0，，-1＜x＜1．
∴借助數軸和反函數的定義域，知不等式f-1(x)＞log2

1+x

k

的解集為{x|0＜x＜1}．

點評：本題考查對數函數的性質和不等式的綜合運用，綜合性強，難度大，易錯點是求不等式解集時容易忽視反函數的定義域．解題時要認真審題，注意奇函數性質的靈活運用．