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某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P(億元)和Q(億元),它們與投資額t(億元)的關系有經驗公式P=
1
6
3t
,Q=
1
8
t.今該公司將5億元投資這兩個項目,其中對甲項目投資x(億元),投資這兩個項目所獲得的總利潤為y(億元).求:
(1)y關于x的函數表達式;
(2)總利潤的最大值.
分析:(1)設甲項目投資x億元,則乙項目投資
1
8
(5-x)億元,這兩個項目所獲得的總利潤為y=M(億元)+N(億元),由經驗公式建立總利潤關于資金為x的函數關系;
(2)用換元法,設令t=
3x
,t∈[0,
15
],則x=
t2
3
,利用換元法轉換為二次函數在區間上的最值問題,從而求出y的最大值.
解答:解:(1)根據題意,得y=
1
6
3x
+
1
8
(5-x),…(6分)
x∈[0,5]. …(8分)
(注:定義域寫成(0,5)不扣分)
(2)令t=
3x
,t∈[0,
15
],則x=
t2
3

y=-
t2
24
+
1
6
t+
5
8
=-
1
24
(t-2)2+
19
24
.…(12分)
因為2∈[0,
15
],所以當
3x
=2時,即x=
4
3
時,y最大值=
19
24
.…(14分)
答:總利潤的最大值是
19
24
億元. …(15分)
點評:利潤最大的問題,根據題意列出符號條件的函數關系式,選擇合適的方法求最值即可,本題用換元法得到一元二次函數的解析式,利用二次函數的性質求其最大值,是基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P(億元)和Q(億元),它們與投資額t(億元)的關系有經驗公式P=
1
6
3t
,Q=t.今該公司將5億元投資這兩個項目,其中對甲項目投資x(億元),投資這兩個項目所獲得的總利潤為y(億元).求:
(1)y關于x的函數表達式;
(2)總利潤的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P(億元)和Q(億元),經驗表明,投資額t(億元)與利潤之間的關系有公式P=
1
6
3t
,Q=
1
8
t
.今該公司準備將5億元的資金投入到甲、乙兩個項目,問如何分配這筆資金才能使公司獲得的總利潤 最大,最大利潤為多少?

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科目:高中數學 來源: 題型:

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P(億元)和Q(億元),它們與投資額t(億元)的關系有經驗公式P=
a
4
2t
,Q=
1
8
t,其中0<a<4,今該公司將5億元投資這兩個項目,其中對甲項目投資x(億元),投資這兩個項目所獲得的總利潤為y(億元).
(1)求y關于x的函數解析式:
(2)怎樣投資才能使總利潤的最大值?

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科目:高中數學 來源: 題型:

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P(億元)和Q(億元),它們與投資額t(億元)的關系有經驗公式.今該公司將5億元投資這兩個項目,其中對甲項目投資x(億元),投資這兩個項目所獲得的總利潤為y(億元).

求:(1)y關于x的函數表達式;

(2)總利潤的最大值.

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