Question

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P（億元）和Q（億元），它們與投資額t（億元）的關系有經驗公式P=

a

4

2t

，Q=

1

8

t，其中0＜a＜4，今該公司將5億元投資這兩個項目，其中對甲項目投資x（億元），投資這兩個項目所獲得的總利潤為y（億元）．
（1）求y關于x的函數解析式：
（2）怎樣投資才能使總利潤的最大值？

Answer 1

分析：（1）根據總利潤=甲項目所獲利潤+乙項目所獲利潤，列出函數關系式即可；
（2）利用換元將函數關系轉化二次函數，利用二次函數的對稱軸與定義域的位置關系分類討論即可求得函數的最值，即得到答案．

解答：解：（1）根據題意，y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
（2）∵y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
∴令t=

2x

，則x=

t2

2

，且t∈[0，

10

]，
∴y=-

1

16

t2+

a

4

t+

5

8

=-

1

16

(t-2a)2+

5+2a

8

，對稱軸為x=2a，
①若0＜2a≤

10

，即0＜a≤

10

2

時，
當t=2a時，y最大值=

5+2a

8

，此時x=

a2

2

；
②若2a＞

10

，即

10

2

＜a＜4時，函數在[0，

10

]上單調遞增，
當t=

10

時，y最大值=

10

4

a，此時x=5．
綜合①②，若0＜a≤

10

2

時，甲項目投資

a2

2

億元，乙項目投資5-

a2

2

億元，總利潤的最大值是

5+2a

8

億元，
若

10

2

＜a＜4時，甲項目投資5億元，乙項目投資不投資，總利潤的最大值是

10

4

a億元．
答：當0＜a≤

10

2

時，甲項目投資

a2

2

億元，乙項目投資5-

a2

2

億元，總利潤的最大值是

5+2a

8

億元；當

10

2

＜a＜4時，甲項目投資5億元，乙項目投資不投資，總利潤的最大值是

10

4

a億元．

點評：本題考查了函數在實際生產生活中的應用，解題的關鍵是能夠根據題意合理的建立數學模型，再利用數學知識解決最值問題．本題涉及了應用換元法轉化成二次函數求最值，對于二次函數的最值問題，一般從開口方向，對稱軸與區間的位置關系進行處理．屬于中檔題．