Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=4，側面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）證明PA⊥BD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連接OE．求出高PO和底面ABCD的面積，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）法一：建立空間直角坐標系，求出，計算，就證明了PA⊥BD．
法二：連接AO，延長AO交BD于點F，通過相似和計算，證明直線BD垂直直線PA在平面ABCD內的身影AF，即可證明PA⊥BD．
解答：解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點E，連接PE，則PE⊥AD．
作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連接OE．
根據三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO為側面PAD與底面所成的二面角的平面角，
由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱錐P-ABCD的體積
V_P-ABCD=．

（Ⅱ）法一：如圖1，以O為原點建立空間直角坐標系．通過計算可得
P（0，0，3），A（2，-3，0），B（2，5，0），D（-2，-3，0）
所以．
因為，所以PA⊥BD．
法二：如圖2，連接AO，延長AO交BD于點F．通過計算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得．
所以Rt△AEO∽Rt△BAD．
得∠EAO=∠ABD．
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD．
因為直線AF為直線PA在平面ABCD內的身影，所以PA⊥BD．
點評：本題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力．