Question

已知函數(shù)，
（I）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（II）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的x∈[0，1]，g^/（x）≤1的充要條件是；

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，將參數(shù)c分離出來(lái)，研究函數(shù)再開(kāi)區(qū)間上值域，即可求出c的范圍；
（2）先求出f（x），然后利用配方法求出函數(shù)的最大值，再?gòu)某浞中耘c必要性?xún)煞矫孢M(jìn)行證明即可．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，
g'（x）=-x²+x+c（1分）∵g（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立（2分）
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立（3分）∴c≥2（4分）
（2）設(shè)g'（x）=f（x），則
f（x）=-a²（x-）²+c+
∵a
∴即
當(dāng)x=時(shí)，[f（x）]max=f（）=c+
充分性：∵
∴x∈[0，1]時(shí)，f（x）≤1
∴f（x）≤1（x∈[0，1]）
必要性：x∈[0，1]時(shí)f（x）≤1而
∴f（）=c+≤1
∴c
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．